九条层环

图上只有一种边：层环。三条转轴各带三层， 合共九条。转一层，环上那 12 张侧贴纸便整体滑过三格——环既是几何上的一圈， 也是这次置换的轨道。指向下面任一条，图里就会把它点亮；外六条还可以直接上手， 按住环上一颗点推过去便是。

每张贴纸恰好落在两条环上——第三条轴穿的是它 自己那个面，不入环。于是每颗点都是两圆的交点，六个面各自长成一张 3×3 的菱形网格： 簇里那些短线不是另画的，是环路过时自己连出来的。

一条下降的群链

魔方有 43 252 003 274 489 856 000 种状态， 照直搜索是没有指望的。Thistlethwaite 的办法是把这张 Cayley 图逐级商掉： 每降一级就收紧一批可用的转动，而每一级的陪集都少到能整表广度优先。

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   G1·棱向归零 2 048 个陪集

   先只管 12 条棱的翻转。棱朝向只有「顺」「逆」两种，扣掉一个守恒量，恰好 2¹¹ 个陪集。

   允许 U D L R F B
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   G2·角向归零 1 082 565 个陪集

   收掉 F、B 的四分之一转，棱朝向便再不会乱。这一级管角块的扭转与中层四棱归层。

   允许 U D L R F² B²
3. 3
   G3·各归其轨 29 400 个陪集

   再收掉 L、R。角块要回到自己那个正四面体，棱块要回到自己那一层——此后只剩半周转可用。

   允许 U D L² R² F² B²
4. 4
   G4·收束归元 663 552 个陪集

   六种半周转生成的群本就不大，整表铺开，沿着距离一路下降到原点。

   允许 U² D² L² R² F² B²

四段各走一次最短路，合起来通常三十来步。它不是人类的层先法，也不追求二十步的极致， 但每一步都能说清自己在消掉哪一类不齐整——这正是「用图论解魔方」的字面意思。